Techniques d'astronome amateur
Mathématiques avec plaisir

Quelques nombres curieux

Parmi tout l'univers des nombres, certains se distinguent par des propriétés curieuses ou amusantes. J'aimerais vous en présenter quelques-uns.

142857 : Les chiffres qui composent ce nombre ne changent pas lorsqu'on le multiplie par un entier compris entre 1 et 6.

142857 x 2 = 285714     le résultat comprend bien les mêmes chiffres que le nombre de départ
142857 x 3 = 428571
142857 x 4 = 571428
142857 x 5 = 714285
142857 x 6 = 857142

Par contre, le nombre obtenu avec la multiplication par 7 est complètement différent
142857 x 7 = 999999

La suite semble rompre avec le début de la série
142857 x 8 = 1142856
142857 x 9 = 1285713

12 345 679 : Ce nombre est composé par l'ensemble des chiffres à l'exception du 8 et du 0 et placés dans l'ordre croissant. Son originalité apparaît lorsqu'on le multiplie par 18 ou par 81.

12 345 679 x 18 = 222 222 222

12 345 679 x 81 = 999 999 999

En fait, tous les multiples de 9, lorsqu'ils multiplient ce nombre, fournissent un résultat à un seul chiffre répété.

12 345 679 x 9 = 111 111 111

Certains utilisent ces opérations pour vérifier le bon fonctionnement des calculatrices...

Divisons 10 par 3... : Que peut-on obtenir en divisant 10 par 3? Rien de bien extraordinaire dans un premier temps :

10 / 3 = 3,333 333 333...

Divisons à nouveau ce résultat par 3

10 / 3 / 3 = 1,111 111 111...

Ce résultat n'est pas surprenant lui non plus mais continuons à diviser par 3

10 / 3 / 3 / 3 = 0,370 370 370...

Patience... divisons encore par 3

10 / 3 / 3 / 3 / 3 = 0,123 456 790 123 456 790 123...

Nous retrouvons ainsi un nombre composé de la même série de chiffres que celui du paragraphe précédent. Il comprend lui-aussi l'ensemble des chiffres ordonnés à l'exception du 8.
On aurait aussi pu l'obtenir en divisant directement 10 par 81.

Quelques pyramides : Voici quelques opérations qui dessinent des pyramides étonnantes quand elles sont organisées en progression :

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10 = 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Les nombres premiers : Un nombre est premier s'il ne peut être divisé que par 1 et par lui-même. Voici le début de leur liste :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,....

Le nombre 1 correspond à la définition des nombres premiers. Toutefois, on considère par convention qu'il n'est pas premier.

Un grand nombre d'entre eux est bien connu mais certains mathématiciens cherchent toujours des règles qui les relieraient. Ainsi, on a découvert une série qui fournit 40 nombres premiers. C'est la plus longue série de ce type. Pour l'obtenir, on part du nombre 41 et on lui ajoute 2 puis 4 puis 6 etc... et on obtient la suite de nombres 41, 43, 47, 53, etc... Les 40 premiers nombres fournis par cette suite sont tous premiers.

Je vous propose aussi d'examiner la conjecture de GOLDBACH.

1729 : Il s'agit du plus petit nombre qu'on peut exprimer comme la somme de deux cubes de deux manières différentes.

1729 = 123 + 13 = 93 + 103

153 : Prenons un multiple de 3, n'importe lequel, et additionnons le cube de chacun des chiffres qui le composent. Ensuite, nous recommençons pour le résultat de cette somme jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de changement. Le résultat sera alors égal à 153.

Exemple : Prenons 1629, c'est l'année de naissance du célèbre physicien néerlandais Christiaan HUYGENS (1629 - 1695).

13 + 63 + 23 + 93 = 252

Recommençons avec ce nouveau nombre :
23 + 53 + 23 = 141

Recommençons jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de variation :
13 + 43 + 13 = 66
63 + 63 = 432
43 + 33 + 23 = 99
93 + 93 = 1458
13 + 43 + 53 + 83 = 702
73 + 23 = 351
33 + 53 + 13 = 153
13 + 53 + 33 = 153

En partant d'un multiple de trois, la série finit toujours avec ce nombre.