Calcul de la distance focale d'un groupe de 2 lentilles

Nous envisageons que ce groupe constitue un oculaire et nous considérons que les lentilles sont minces (nous négligeons leur épaisseur).

L'illustration nous montre ces ceux composants et un rayon incident en i sur la première lentille. Ce rayon lumineux provient du centre de l'objectif qui est situé vers la gauche. La distance focale de l'objectif est grande par rapport à celle de chacune des lentilles du groupe, nous estimons donc que le rayon incident arrive parallèlement à l'axe optique.

Si elle était seule, la première lentille formerait une image réelle de l'objet (centre de l'objectif) au point F1 qui est le foyer image de la lentille L1. En fait, cette image est virtuelle car le faisceau est interrompu par la seconde lentille L2 dont le foyer image est F2..

Nous allons chercher la position du foyer résultant Fr qui est l'image réelle formée par la lentille L2 de l'objet virtuel F1.

Oculaire composé de deux lentilles simples.
Distance focale de L1 = O1 F1 = f1
Distance focale de L2 = O2 F2 = f2

Considérons la formule de Descartes :

      [1]

avec : p' = O2 Fr
           p = O2 F1
           f ' = f2 = O2 F2         c'est la distance focale de la lentille L2

Ce qui nous donne la relation suivante :

      [2]

Ce qui équivaut à :

      [3]

Prenons l'inverse :

      [4]

Or, en observant la figure ci-dessus, nous comprenons que : O2 F1 = f1 - e

En remplaçant O2 F1 par (f1 - e), nous obtenons :

      [5]

Retenons ce résultat et considérons à nouveau notre graphique. En sortant du groupe de lentilles, le rayon lumineux intercepte l'axe en Fr. Ce point est le foyer résultant du couple de lentilles. En arrivant sur ce point, le rayon semble provenir du point h comme si ce groupe se comportait comme une seule lentille dont le centre serait situé en R et dont la distance focale serait égale à RFr.

La distance focale résultante F que nous recherchons est donc égale à RFr.

Considérons les triangles O1 i F1 et R h Fr

      [6]

      [7]

Et nous pouvons donc écrire :

      [8]

Remplaçons dans cette équation O2Fr par son expression précédemment trouvée dans l'équation [5] :

      [9]

En simplifiant par (f1 - e), nous obtenons le résultat recherché :

      [10]

Avant d'employer ce résultat, il faut bien se rappeler que nous avons fait des approximations pour l'obtenir...