Techniques d'astronome amateur
Notions d

NOTIONS D'OPTIQUE

POUR LES ASTRONOMES AMATEURS

Calcul des combinaisons optiques

Optique paraxiale

Conditions de Gauss

Les méthodes de calcul des combinaisons optiques que nous allons étudier sont en principe limitées aux lentilles minces et aux faisceaux lumineux peu écartés de l'axe et dont l'angle d'ouverture est inférieur à 3°. Les rayons lumineux sont dits paraxiaux.
Ce sont les conditions d'approximation de Gauss (Carl Friedrich GAUSS, 1777 - 1855).

En pratique, la précision des calculs sera d'autant plus altérée que l'on s'écartera de ces limites.

Dans ce chapitre nous considèrerons des systèmes optiques centrés. Un système de lentilles sphériques est dit centré lorsque les centres de courbure des différents dioptres qui composent les lentilles sont alignés sur une droite appelée axe optique du système.

Conventions

La figure 1 illustre les conventions que nous allons utiliser. Elle représente une lentille convergente. Celle-ci comporte deux foyers.

Une lentille convergente
Figure 1 : Conventions des schémas présentés dans la suite du texte.

Position d'une image

Détermination graphique

Examinons la figure 2. Un objet est symbolisé par une flèche AB, une lentille forme son image en A'B'.

Les rayons remarquables dans la formation d'une image
Figure 2 : Les rayons remarquables qui nous permettent de déterminer la position d'une image.

Déterminons la position et la taille de cette image.
Pour cela nous pouvons utiliser deux des trois rayons particuliers suivants :

Cette méthode graphique nous permettra donc de concevoir très simplement des combinaisons optiques destinées à former des images.

Première formule de DESCARTES

Nous pouvons aussi déterminer la position de l'image par le calcul. Pour cela René Descartes (1596 - 1650) a démontré la formule suivante :

avec : p = distance entre l'objet et la lentille
         p' = distance entre la lentille et l'image
         f ' = distance focale de la lentille

Taille de l'image

Méthode graphique

La construction graphique de la figure 2 nous donne directement la taille de l'image, à condition de connaître l'échelle du schéma.

Deuxième formule de DESCARTES

En analysant la figure 2 nous constatons que les triangles ABS et A'B'S sont semblables. Par conséquent nous pouvons énoncer l'équation suivante :

g est le grandissement.

C'est la deuxième formule de DESCARTES.

Le cas de l'objectif du microscope correspond à la figure 2 avec une petite distance p et une grande distance p'. Ainsi le grandissement est important.

Dans un cas fréquemment rencontré en pratique, on souhaite déterminer le grandissement en fonction de la distance p. Pour cela nous pouvons étudier conjointement les deux formules de DESCARTES, nous en déduisons l'équation suivante :

Quelques exemples

Examinons la figure 3.

Image d'un petit objet situé à l'infini
Figure 3 : Image d'un petit objet situé à l'infini.

Elle représente le cas de l'objectif de la lunette astronomique ou de l'objectif photographique quand l'objet est situé sur l'axe à une distance très grande par rapport à la longueur focale.
Dans ce cas l'image de l'objet est très petite, les points A' et B' sont confondus avec le foyer image F'.

L'objet est situé à trois fois la distance focale
Figure 4 : Image d'un objet situé à trois fois la distance focale.

Si nous rapprochons cet objet jusqu'à une distance égale à trois fois la distance focale, nous obtenons le cas de la figure 4 où

La première formule de DESCARTES nous indique donc :

La deuxième formule nous donne le grandissement :

L'image est deux fois plus petite que l'objet et elle est renversée. Ce dernier point est indiqué par le signe négatif du grandissement.

Considérons maintenant le cas particulier de la figure 5.

L'objet est situé à deux fois la distance focale
Figure 5 : Image d'un objet situé à deux fois la distance focale.

La distance de la lentille à l'objet vaut le double de la distance focale.

Dans ce cas la distance entre la lentille et l'image a la même valeur (au signe près).

Le grandissement est unitaire.

L'image a la même taille que l'objet mais elle est encore inversée.

L'exemple suivant montre une lentille de Barlow montée derrière un objectif. La lentille de Barlow est un dispositif optique divergent imaginé par Peter Barlow (Physicien anglais né le 13 octobre 1776 à Norwich et mort 1er mars 1862 à Woolwich) qui allonge la distance focale de l'objectif (voir aussi le mémento optique).

Objectif avec lentille de Barlow
Figure 6 : Objectif suivi d'une lentille de Barlow.

Nous allons déterminer graphiquement la position du foyer résultant.

Prenons tout d'abord le rayon lumineux qui passe par le centre de la lentille de Barlow et par l'extrémité de l'image fournie par l'objectif seul à son foyer F, il est tracé en bleu. Ce rayon n'est pas dévié par la seconde lentille.

Etudions maintenant le rayon parallèle à l'axe qui participe à l'image primaire du même point, il est coloré en orange. Sa traversée de la lentille de Barlow le réfracte de telle sorte qu'il semble provenir du foyer objet de cette lentille Fo. A partir de là, nous l'avons coloré en rouge.

L'intersection de ces deux rayons (bleu et rouge) indique la position de l'image résultante, c'est à dire du foyer résultant.

Ce dessin nous permet aussi de déterminer graphiquement la taille de l'image que la lentille de Barlow a agrandi dans un rapport G = E /D

Image réelle ou virtuelle

Dans certains cas, la lumière converge après sa sortie du système optique et elle peut former une image sur un écran, on dit que cette image est réelle.

Notez que cet écran peut être remplacé par une surface sensible afin d'enregistrer une photographie.

Dans d'autres cas, les rayons sortent du système en divergeant et semblent provenir d'une image située avant la sortie du système optique. Celle-ci ne peut donc pas se former sur un écran et on dit que cette image est virtuelle.

Il existe aussi des cas où un faisceau convergent est interrompu par un élément optique avant d'avoir formé une image réelle. Cette image est aussi qualifiée de virtuelle car elle n'est jamais vraiment formée.

Observons les illustrations de la figure 7.

Images réelles et virtuelles
Figure 7 : Exemples d'images réelles ou virtuelles. La lumière se propage de gauche à droite.

Dans le cas [a], la lentille L forme une image réelle A' de l'objet réel A.

Dans le cas [b], la lentille L forme une image virtuelle A' de l'objet réel A.

Dans le cas [c], la lentille L forme une image réelle A" de l'objet virtuel A'.

Dans le cas [d], la lentille divergente L forme une image virtuelle A" de l'objet virtuel A'.


Les miroirs

Les conventions graphiques que nous venons d'étudier peuvent aussi être employées avec les miroirs.

La figure 8 illustre un exemple de formation d'une image par un miroir convergent (miroir concave).

Schéma conventionnel pour un miroir concave
Figure 8 : Schéma conventionnel pour un miroir concave.

Remarquez la trajectoire des rayons particuliers qui ont permis la construction du graphique :

Nous constatons que les rayons réfléchis convergent au point B' qui est donc l'image de B.

La figure suivante illustre le schéma conventionnel pour un miroir divergent (miroir convexe).

Schéma conventionnel pour un miroir convexe
Figure 9 : Schéma conventionnel pour un miroir convexe.

Ainsi, on peut extrapoler pour les miroirs l'ensemble des aspects que nous avons de considérés pour les lentilles.

Le schéma obtenu avec un miroir est semblable au schéma employé avec une lentille. Tout se passe comme si la feuille sur laquelle on a tracé les rayons destinés à une lentille était repliée au niveau de la lentille. Remarquons toutefois, que le schéma d'un miroir est moins clair que celui d'une lentille. C'est pour cela que je remplace souvent les miroirs par des lentilles dans mes schémas. Je pense que c'est beaucoup plus efficace dans certains cas.