Position du miroir plan sur un télescope de Newton

Le constructeur débutant d'un télescope de Newton pense généralement que le centre du miroir plan doit se situer exactement sur l'axe optique du miroir primaire. Si nous positionnons le miroir secondaire selon cette idée, nous obtenons la disposition de la figure 1.

Dans ce cas, nous constatons nettement que le bord supérieur du miroir plan est dégagé du faisceau lumineux qui converge au foyer alors que son bord inférieur lui est tout juste tangent.

Inconvénients du "centrage" du miroir plan :

Schéma optique du télescope de Newton avec le miroir plan sur l'axe

Figure 1 : Schéma optique d'un télescope de Newton dont le miroir plan est centré sur l'axe.

- Dans cette situation, si le miroir plan avait la dimension minimale proposée par la formule 2 de notre page sur le calcul de la dimension du miroir plan, le faisceau lumineux serait occulté par le bord inférieur miroir plan. Ceci signifie qu'il faudrait choisir un miroir plan plus grand pour profiter pleinement de la lumière captée par le miroir principal.

- Le champ de pleine lumière n'est pas centré sur l'axe replié (axe de l'oculaire).

- En observant l'intérieur du tube du télescope avec l'œil placé en F' (à la place de l'oculaire), la silhouette du miroir principal n'est pas centrée sur le contour du miroir plan, même si l'orientation de celui-ci est correctement réglée. Pour moi, c'est le plus grave inconvénient car il complique le réglage de l'alignement de l'optique du télescope.

Pour éviter ces défauts, nous devons donc modifier la position du petit miroir. Nous devons le reculer (le déplacer vers la gauche de la figure 1) et le faire descendre d'une même quantité.

Détermination de la meilleure position du miroir plan :

Repliement du faisceau lumineux par le miroir plan

Figure 2 : Parcours des rayons lumineux au voisinage du miroir plan.

Agrandissons le schéma de la figure 1 afin de mieux observer le voisinage du miroir plan, nous obtenons la figure 2.

La face optique du miroir plan est centrée sur l'axe du miroir principal mais elle n'est pas centrée sur le contour du faisceau lumineux. Ce faisceau forme tout d'abord un cône dont le sommet est le foyer "F" et qui est délimité par les deux rayons lumineux des bords extrêmes.

L'un de ces rayons se dirige vers "F" en partant depuis le bord gauche du miroir principal et en interceptant le miroir plan au point "g".
L'autre rayon se dirige vers "F" en partant depuis le bord droit du miroir principal et en interceptant le miroir plan au point "d".

Nous allons maintenant calculer les abscisses des points "g" et "d", nous les appellerons respectivement Xg et Xd.

Pour calculer Xg, nous allons considérer l'équation qui définit la droite qui passe par "g" et "F" :

Avec : R = Rayon de courbure du miroir principal (= 2 x distance focale )
D = diamètre du miroir principal
p = distance OF (les deux axes se croisent au point "O"

Cette droite intercepte au point "g" la "médiane" de la face optique du miroir plan dont l'équation est :

Remplaçons "y" dans l'équation 1 par sa valeur au point "g" fournie par l'équation 2, c'est à dire par "Xg". Nous obtenons:

En poursuivant ainsi, nous obtenons :

Pour calculer Xd, nous procédons en utilisant l'équation qui définit la droite qui passe par "d" et "F" :

Au point "d" nous avons donc :

Nous en déduisons :

Nous désignons par la lettre grecque Δ (Delta) le décalage du miroir plan par rapport au point "O" :

Passons sur les détails, et nous arrivons au résultat :

Nous déduisons que le centre du miroir plan doit être reculé et abaissé de la valeur de Δ comme le montre la figure 3.

Figure 3 : Le miroir plan doit être décalé vers le bas et vers la gauche de la valeur de Δ.

Prise en compte du champ de pleine lumière :

Nous avons raisonné jusqu'à présent en considérant que le miroir plan doit être centré sur le contour du faisceau lumineux conique qui vient converger au foyer "F". Ceci est une bonne approximation. Toutefois, bien qu'on puisse considérer que c'est un "luxe" généralement inutile, certains lecteurs voudront peut-être déterminer cette position d'une façon plus rigoureuse en considérant cette fois globalement le faisceau lumineux qui éclaire tout le champ de pleine lumière de diamètre "d". C'est maintenant la figure 4 que nous devons observer.

Figure 4 : Parcours des rayons lumineux qui délimitent le champ de pleine lumière.

Les formules précédentes sont valables ici aussi à condition de remplacer les valeurs de R et p par les valeurs de R' et p' :
[Equation 10]
[Equation 11]
avec :
f = distance focale du miroir principal
d = diamètre du champ de pleine lumière

Ainsi, nous pouvons calculer les abscisses des nouveaux points "g" et "d" puis nous en déduisons une nouvelle valeur de Δ. Pour les télescopes usuels, elle est très voisine de la valeur trouvée précédemment. Plus le rapport F/D de l'instrument considéré est petit et plus les deux valeurs de Δ sont différentes.

Exemples :

Pour illustrer l'emploi de ces équations mathématiques, je vous propose de considérer mon télescope TITAN dont vous pouvez voir les plans détaillés sur une autre page.

Les caractéristiques de TITAN sont : D = 145mm, f=691,5mm, R=1383mm, p=152,5mm

L'équation 4 nous donne l'abscisse du point "g" :

L'équation 7 nous donne l'abscisse du point "d" :

Au passage, nous pouvons calculer la valeur minimale que doit avoir le petit côté du miroir plan :

a(mini) = Xd - Xg = 14,5 + 17,9 = 32,4mm

Cette valeur est (très légèrement) différente de la valeur que nous avons calculée dans la page sur le calcul de la dimension du miroir plan. En effet, nous avions alors négligé le décalage du miroir plan que nous étudions ici.

Ce décalage vaut donc pour ce télescope :

Le miroir plan de TITAN sera donc correctement positionné quand nous aurons placé son centre optique à 1,7mm en arrière de l'axe optique du miroir primaire et 1,7mm en dessous de l'axe du porte-oculaire (voir l'araignée de TITAN).

Si nous voulons tenir compte du champ de pleine lumière de 11,8mm que nous obtenons avec le miroir plan de 45mm de petit côté, nous devons utiliser R'=1495,5mm (équation 10) et p'= 208,8mm (équation 11) à la place de R et p.

Nous obtenons alors Δ=1,98mm.

Cette nouvelle valeur diffère de moins de 0,3mm de la précédente. Cette différence est peu perceptible.

Décalage du miroir plan dans un télescope de grande ouverture :

Jusqu'ici nous avons négligé la courbure du miroir principal. Elle influence pourtant la direction des rayons marginaux mais cette négligence est tout à fait justifiée dans les cas habituels.

Toutefois pour les télescopes de Newton qui ont une grande ouverture (F/D < 4) il faut en tenir compte et ainsi, en modifiant l'équation [9], on obtient la relation exacte suivante :

Avec F = distance focale du miroir primaire.
d = diamètre linéaire du champ de pleine lumière.
La lettre "e" désigne ici la flèche de courbure du miroir, autrement dit la profondeur de sa concavité.